Teorema de Pitágoras

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El teorema de Pitágoras: La suma de las áreas de los dos cuadrados en las piernas (A y B) es igual al área del cuadrado de la hipotenusa (c).

En matemáticas , el teorema de Pitágoras - o teorema de Pitágoras - es una relación en la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo (triángulo rectángulo). Por áreas, se indica:

En cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son las dos patas (los dos lados que convergen en un ángulo recto ).

El teorema puede ser escrita como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados a, b y c, a menudo llamada la ecuación de Pitágoras: [1]

a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \! \,

donde c representa la longitud de la hipotenusa, y a y b representan las longitudes de los otros dos lados.

El teorema de Pitágoras es el nombre del griego matemático Pitágoras (c. 570 aC-ca. 495 aC), que por tradición se le atribuye su descubrimiento y prueba , [2] [3] aunque se suele decir que el conocimiento del teorema anterior él. Hay pruebas de que los matemáticos babilónicos entiende la fórmula, aunque hay poca evidencia de sobrevivir que no se utiliza en un marco matemático. [4] [5]

El teorema tiene numerosas pruebas , posiblemente más que cualquier otro teorema matemático. Estos son muy diversos, incluyendo tanto pruebas geométricas y pruebas algebraicas, con algunos millares que datan de años. El teorema puede ser generalizado en varias maneras, incluyendo las dimensiones superiores, a los espacios que no sean espacios euclidiana, a los objetos que no son triángulos rectángulos, y de hecho, a los objetos que no son triángulos en absoluto, pero sólidos n-dimensionales. El teorema de Pitágoras ha despertado el interés fuera de las matemáticas como un símbolo matemático de hermetismo, mística, o el poder intelectual, las referencias populares de la literatura, obras de teatro, musicales, canciones, sellos y dibujos animados abundan.

Contenido

Otras formas

Como se ha señalado en la introducción, si c denota la longitud de la hipotenusa y A y B indican las longitudes de los otros dos lados, el teorema de Pitágoras se puede expresar como la ecuación de Pitágoras:

a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \,

Si la longitud de a y b son conocidos, entonces c se puede calcular como sigue:

c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}. \,

Si la longitud de la hipotenusa c y una pierna (A o B) son conocidos, entonces la longitud de la otra pierna se puede calcular con las ecuaciones siguientes:

a = \ sqrt {c ^ 2 - b ^ 2}. \,

o

b = \ sqrt {c ^ 2 - a ^ 2}. \,

La ecuación de Pitágoras relaciona los lados de un triángulo rectángulo de una manera sencilla, de manera que si las longitudes de los dos lados se conoce la longitud del tercer lado se puede encontrar. Otro corolario del teorema es que en cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que una cualquiera de las piernas, pero menor que la suma de ellos.

Una generalización de este teorema es la ley de los cosenos , lo que permite el cálculo de la longitud del tercer lado de cualquier triángulo, dadas las longitudes de dos lados y el tamaño del ángulo entre ellos. Si el ángulo entre los lados es un ángulo recto, la ley de los cosenos se reduce a la ecuación de Pitágoras.

Pruebas

Este teorema puede tener pruebas más conocidas que cualquier otro (la ley de reciprocidad cuadrática es otro contendiente para esa distinción). el libro The Proposition Pitágoras contiene 370 pruebas [6]

Prueba usando triángulos semejantes

Prueba usando triángulos semejantes

Esta prueba se basa en la proporcionalidad de los lados de dos similares triángulos, es decir, en el hecho de que la proporción de cualquiera de los dos lados correspondientes de los triángulos semejantes es la misma, independientemente del tamaño de los triángulos.

Sea ABC un triángulo rectángulo representan, con el ángulo recto se encuentra en C, como se muestra en la figura. Señalamos a la altura del punto C, H y llame a su intersección con el lado AB. El punto H se divide la longitud de la hipotenusa c en partes d y e. El nuevo ACH triángulo es semejante al triángulo ABC, porque ambos tienen un ángulo recto (por definición de la altitud), y comparten el ángulo en A, lo que significa que el tercer ángulo será el mismo en ambos triángulos, así, marcado como θ en la figura. Por un razonamiento similar, la CBH triángulo es también similar a ABC. La prueba de la semejanza de los triángulos requiere el Triángulo postulado : la suma de los ángulos de un triángulo es de dos ángulos rectos, y es equivalente al postulado de las paralelas . La similitud de los triángulos lleva a la igualdad de las relaciones entre los lados correspondientes:

\ Frac {BC} {AB} = \ frac {BH} {BC} \ text {y} \ frac {AC} {AB} = \ frac {AH} {AC}. \,

El primer resultado se compara el coseno de cada ángulo θ y el segundo resultado iguala los senos .

Estas proporciones pueden ser escritas como:

{BC} ^ {2} = {AB} \ times {BH} \ text {y} {AC} ^ {2} = {AB} \ times {AH}. \,

Sumando estas dos igualdades, obtenemos

{BC} ^ {2} + {AC} ^ {2} = {AB} \ times {BH} + {AB} \ épocas {AH} = {AB} \ épocas ({AH} + {BH}) = { AB} ^ {2}, \, \!

que poner en orden, es el teorema de Pitágoras:

{BC} ^ {2} + {AC} ^ {2} = {AB} ^ {2} \. \, \!

El papel de esta prueba en la historia es el tema de mucha especulación. La cuestión de fondo es por qué Euclides no utilizó esta prueba, pero inventaron otro. Una conjetura es que la prueba por triángulos semejantes implicaba una teoría de las proporciones, no es un tema discutido hasta más tarde en los Elementos, y que la teoría de las proporciones necesarias un mayor desarrollo en ese momento. [7] [8]

Prueba de Euclides

La prueba en los Elementos de Euclides

A grandes rasgos, así es como la prueba de Euclides Elementos de ingresos. El cuadrado grande se divide en un rectángulo izquierdo y derecho. Un triángulo se construye que tiene la mitad del área del rectángulo izquierdo. Luego, otro triángulo está construido de manera que tiene la mitad del área del cuadrado del lado más a la izquierda. Estos dos triángulos se muestran para ser congruentes, demostrando este cuadrado tiene la misma área que el rectángulo izquierdo. Este parámetro es seguido por una versión similar para el rectángulo de la derecha y de la plaza restante. Poner los dos rectángulos para reformar el cuadrado de la hipotenusa, su área es la misma que la suma de la superficie de los otros dos cuadrados. Los detalles son los siguientes.

Sean A, B, C son los vértices de un triángulo rectángulo, con un ángulo recto en A. Una perpendicular desde A hasta el lado opuesto a la hipotenusa en el cuadrado de la hipotenusa. Esta línea divide el cuadrado de la hipotenusa en dos rectángulos, cada uno tiene la misma área como una de las dos plazas en las piernas.

Para la prueba formal, necesitamos cuatro elemental lemas :

  1. Si dos triángulos tienen dos lados del igual a dos lados del otro, cada uno a cada uno, y los ángulos incluidos por los lados iguales, entonces los triángulos son congruentes ( lado-ángulo-lado ).
  2. El área de un triángulo es la mitad del área de cualquier paralelogramo sobre la misma base y que tiene la misma altitud.
  3. El área de un rectángulo es igual al producto de dos lados adyacentes.
  4. El área de un cuadrado es igual al producto de dos de sus lados (De 3).

A continuación, cada cuadrado superior está relacionado con un triángulo congruente con otro triángulo relacionado a su vez a uno de los dos rectángulos que componen el cuadrado inferior. [9]

Ilustración incluyendo las nuevas líneas
Listado de los dos triángulos congruentes de la mitad del área del rectángulo BDLK y BAGF plaza

La prueba es como sigue:

  1. Vamos ACB ser un triángulo rectángulo con CAB ángulo recto.
  2. En cada uno de los lados BC, AB y CA, se dibujan cuadrados, CBDE, BAGF, y ACIH, en ese orden. La construcción de cuadrados requiere los teoremas inmediatamente precedentes en Euclides, y depende del postulado paralelo. [10]
  3. Desde A, trazar una línea paralela a BD y CE. Se cortará perpendicularmente BC y DE en K y L, respectivamente.
  4. Únete CF y AD, para formar el BCF triángulos y BDA.
  5. CAB Angles y la bolsa son dos ángulos rectos, por lo que C, A, G, y son colineales . De manera similar para B, A, y H.
  6. Ángulos CDB y FBA son ángulos rectos, por lo que el ángulo ABD es igual al ángulo FBC, ya que ambos son la suma de un ángulo recto y ángulo ABC.
  7. Dado que AB es igual a FB y BD es igual a BC, triángulo ABD debe ser congruente con el triángulo FBC.
  8. Desde AKL es una línea recta, paralela a BD, entonces rectángulo BDLK tiene dos veces el área del triángulo ABD porque comparten el BD base y tienen la misma altitud BK, es decir, una línea normal a su base común, que conecta el paralelo BD y líneas AL. (Lema 2)
  9. Como C es colineal con A y G, cuadrado BAGF debe ser el doble de la superficie de triángulo FBC.
  10. Por lo tanto rectángulo BDLK debe tener la misma área que BAGF cuadrado = AB 2.
  11. De manera similar, se puede demostrar que CKLE rectángulo debe tener la misma área que ACIH cuadrado = AC 2.
  12. La incorporación de estos dos resultados, AB 2 + AC = BD × 2 BK + KL × KC
  13. Dado que BD = KL, BD × × BK + KL KC = BD (BK + KC) = BD × BC
  14. Por lo tanto AB 2 + AC 2 = BC 2, ya que CBDE es un cuadrado.

Esta prueba, que aparece en Euclid Elementos como la de la Proposición 47 en el libro 1, [11] demuestra que el área del cuadrado de la hipotenusa es la suma de las áreas de las otras dos plazas. [12] Esto es muy distinto de la prueba de semejanza de triángulos, que se conjetura que la prueba de que Pitágoras. [8] [13]

Demostración por reordenamiento

La animación de la izquierda consiste en una gran plaza lado, a + b, que contiene cuatro triángulos rectángulos iguales. Los triángulos se muestran en dos acuerdos, el primero de los cuales deja dos plazas a 2 y b 2 no cubierto, en la segunda de las cuales sale cuadrado c 2 descubierta. El área abarcada por el cuadrado exterior no cambia nunca, y el área de los cuatro triángulos es la misma al inicio y al final, por lo que las áreas de cuadrados negros debe ser igual, por lo tanto, a 2 + b 2 = c 2.

Una segunda prueba se da por medio de la animación. Un cuadrado grande se forma con el área c 2, a partir de cuatro triángulos idénticos rectángulo con lados a, b y c, colocado en torno a una plaza central pequeña. Luego, dos rectángulos se forman con los lados a y b moviendo los triángulos. La combinación de la plaza más pequeña con estos rectángulos produce dos cuadrados de zonas A 2 y B 2, que deben tener la misma superficie que el cuadrado grande inicial. [14]

La tercera imagen, la derecha también le da una prueba. La parte superior de dos cuadrados se dividen como se muestra por el sombreado azul y verde, en trozos que cuando reordenado puede ser hecho a la medida en el cuadrado de la hipotenusa inferior - o a la inversa del cuadrado grande puede ser dividida como se muestra en piezas que llenan los otros dos . Esto muestra el área del cuadrado grande es igual a la de los dos más pequeños. [15]

Animación de la prueba en un reordenamiento de los cuatro triángulos rectángulos iguales
Animación que muestra otra prueba en un reordenamiento
Prueba usando un reordenamiento elaborada

Pruebas algebraicas

Esquema de las dos pruebas algebraicas

El teorema se puede demostrar algebraicamente utilizando cuatro copias de un triángulo rectángulo con lados a, b y c, dispuesto en el interior de un cuadrado de lado c como en la mitad superior del diagrama. [16] Los triángulos son similares a área \ Tfrac12ab , Mientras que el pequeño cuadrado tiene lado b - a y el área (b - a) 2. El área del cuadrado grande es por lo tanto

(B-a) ^ 2 +4 \ frac {ab} {2} = (b-a) ^ 2 +2 ab = a ^ 2 + b ^ 2. \,

Pero esto es un cuadrado de lado c y zona c 2, por lo que

c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. \,

Una prueba similar utiliza cuatro copias del mismo triángulo dispuestos simétricamente alrededor de un cuadrado de lado c, como se muestra en la parte inferior del diagrama. [17] Esto resulta en un cuadrado más grande, con el lado a + b y el área (a + b ) 2. Los cuatro triángulos y el lado c cuadrado debe tener la misma superficie que el cuadrado más grande,

(B + a) ^ 2 = c ^ 2 + 4 \ frac {ab} {2} = c ^ 2 +2 ab, \,

dando

c ^ 2 = (b + a) ^ 2 -. 2ab = a ^ 2 + b ^ 2 \,
Esquema de la prueba de Garfield

Una prueba correspondiente fue publicado por el ex presidente de EE.UU. James A. Garfield . [18] [19] En lugar de un cuadrado que utiliza un trapezoide , que puede ser construido a partir de la plaza en la segunda de las pruebas anteriores por bisectriz a lo largo de una diagonal del cuadrado interior, para dar el trapecio, como se muestra en el diagrama. El área del trapezoide se puede calcular a ser la mitad del área del cuadrado, es decir

\ Frac {1} {2} (b + a) ^ 2.

El cuadrado interior es igualmente reducido a la mitad, y sólo hay dos triángulos para la prueba procede como antes excepto por un factor de \ Frac {1} {2} , Que se elimina mediante la multiplicación por dos para obtener el resultado.

Prueba usando diferenciales

Se puede llegar en el teorema de Pitágoras mediante el estudio de cómo los cambios en un lado producen un cambio en la hipotenusa y el empleo de cálculo . [20] [21] [22]

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo, como se muestra en la parte superior del diagrama, con la hipotenusa AC. Al mismo tiempo, las longitudes se miden triángulo como se muestra, con la hipotenusa de longitud y, el lado de CA de longitud x y el lado AB de longitud a, como se ve en la parte inferior diagrama.

Diagrama para la prueba diferencial

Si x se incrementa en una pequeña cantidad dx extendiendo el lado de CA ligeramente a D, entonces y también aumenta por dy. Estos forman dos lados de un triángulo, CDE, que (con E eligen de manera CE es perpendicular a la hipotenusa) es un triángulo rectángulo aproximadamente similar a ABC. Por lo tanto, las proporciones de sus lados debe ser el mismo, que es:

\ Frac {dy} {dx} = \ frac xy.

Esto puede ser reescrita como sigue:

y \ cdot dy -. x \ cdot dx = 0 \,

Esta es una ecuación diferencial que se resuelve para dar

y ^ 2 - x ^ 2 = C, \,

Y la constante se puede deducir de x = 0, y = A, para dar la ecuación

y ^ 2 = x ^ 2 + a ^ 2 \,

Esto es más de una prueba intuitivo que uno formal: se puede hacer más riguroso si los límites apropiados se utilizan en lugar de dx y dy.

Conversar

El inverso del teorema también es cierto: [23]

Para cualquiera de los tres números positivos a, b, y c de tal manera que a 2 + b 2 = c 2, existe un triángulo con lados a, b y c, y cada triángulo tal tiene un ángulo recto entre los lados de longitudes a y b .

Un enunciado alternativo es:

Para cualquier triángulo con los lados a, b, c, si a 2 + b 2 = c 2, entonces el ángulo entre una y las medidas B 90 °.

Esta contrario también aparece en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48): [24]

"Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados del triángulo, entonces el ángulo comprendido por los otros dos lados del triángulo que es correcto."

Se puede probar usando la ley de los cosenos o como sigue:

Sea ABC un triángulo con longitudes de los lados a, b, y c, con un 2 + b 2 = c 2. Construir un segundo triángulo con lados de longitud a y b que contiene un ángulo recto. Por el teorema de Pitágoras, se sigue que la hipotenusa de este triángulo tiene longitud c = a 2 + b 2, la misma que la hipotenusa del triángulo primera. Desde ambos lados triángulos 'son las mismas longitudes a, b y c, los triángulos son congruentes y debe tener los mismos ángulos. Por lo tanto, el ángulo entre el lado de longitudes a y b en el triángulo original es un ángulo recto.

La demostración anterior de la inversa hace uso del Teorema de Pitágoras sí mismo. Lo contrario también puede ser probado sin asumir el Teorema de Pitágoras. [25] [26]

Un corolario de converse el teorema de Pitágoras es un medio sencillo para determinar si un triángulo es recto, obtuso o agudo, como sigue. Sea c ser elegido para ser el más largo de los tres lados y a + b> c (de lo contrario no hay un triángulo de acuerdo con la desigualdad triangular ). Las declaraciones siguientes: [27]

  • Si a 2 + b 2 = c 2, entonces el triángulo es recto.
  • Si a 2 + b 2> c 2, entonces el triángulo es agudo.
  • Si a 2 + b 2 <c 2, entonces el triángulo es obtuso.

Edsger Dijkstra ha declarado esta proposición sobre triángulos agudos, a la derecha, y obtuso en este idioma:

sgn + β - γ) = sgn (a 2 + b 2 - c 2),

donde α es el ángulo opuesto al lado a, β es el ángulo opuesto al lado b, γ es el ángulo opuesto al lado c, y sgn es la función signo . [28]

Consecuencias y aplicaciones del teorema

Pitágoras triples

Un triple pitagórico tiene tres números enteros positivos a, b, y c, tal que a 2 + b 2 = c 2. En otras palabras, un triple pitagórico representa las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo donde los tres lados tienen longitudes de enteros. [1] La evidencia de monumentos megalíticos del norte de Europa muestra que triplica estas eran conocidos antes del descubrimiento de la escritura. Tal un triple se escribe comúnmente (a, b, c). Algunos ejemplos bien conocidos son (3, 4, 5) y (5, 12, 13).

Una primitiva triple pitagórico es una en la que a, b y c son primos entre sí (el máximo común divisor de a, b y c es 1).

La siguiente es una lista de ternas pitagóricas primitivas con valores inferiores a 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12 , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77 , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Longitudes inconmensurables

La espiral de Theodorus : Una construcción de segmentos de línea con longitudes cuyos coeficientes son la raíz cuadrada de un número entero positivo

Una de las consecuencias del teorema de Pitágoras es que los segmentos de línea cuyas longitudes son inconmensurables (lo que la proporción de los cuales no es un número racional ) puede ser construido usando una regla y un compás . Teorema de Pitágoras permite la construcción de longitudes inconmensurables porque la hipotenusa de un triángulo está relacionado con los lados por la raíz cuadrada operación.

La figura de la derecha muestra cómo construir segmentos de línea cuyas longitudes están en la relación entre la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo. [29] Cada triángulo tiene un lado (con la etiqueta "1") que es la unidad elegida para la medición. En cada triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras establece la longitud de la hipotenusa en términos de esta unidad. Si una hipotenusa está relacionada con la unidad por la raíz cuadrada de un número entero positivo que no es un cuadrado perfecto, que es una realización de una longitud inconmensurable con la unidad, tales como 2,3,5. Para obtener más detalles, consulte irracional cuadrática .

Longitudes inconmensurables en conflicto con el concepto de la escuela pitagórica de los números, ya que sólo números enteros. La escuela pitagórica tratados mediante la comparación de proporciones múltiplos enteros de una subunidad común. [30] Según una leyenda, Hipaso de Metaponto (ca. 470 aC) se ahogó en el mar para dar a conocer la existencia de lo irracional o inconmensurables. [31 ] [32]

Los números complejos

El valor absoluto de un número complejo z es la distancia r desde el origen z

Para cualquier número complejo

z = x + iy, \,

el valor absoluto o el módulo está dada por

r = | z |. = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \,

Así que las tres cantidades, r, x e y están relacionadas por la ecuación de Pitágoras,

r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. \,

Tenga en cuenta que r se define como un número positivo o cero, pero x e y pueden ser tanto negativos como positivos. Geométricamente r es la distancia de la z de cero o el origen O en el plano complejo .

Esto se puede generalizar para encontrar la distancia entre dos puntos, z 1 y z 2 say. La distancia necesaria viene dada por

| Z_1 - z_2 | = \ sqrt {(x_1 - x_2) ^ 2 + (y_1 - y_2) ^ 2}, \,

así que de nuevo se relacionan con una versión de la ecuación de Pitágoras,

| Z_1 - z_2 |. ^ 2 = (x_1 - x_2) ^ 2 + (y_1 - y_2) ^ 2 \,

Distancia euclídea en diversos sistemas de coordenadas

La fórmula de la distancia en coordenadas cartesianas se deriva del teorema de Pitágoras. [33] Si (x 1, y 1) y (x 2, y 2) son los puntos en el plano, entonces la distancia entre ellos, también llamada la distancia euclídea , está dada por

\ Sqrt {(x_1 x_2-) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2}.

Más en general, en n-espacio euclídeo , la distancia euclidiana entre dos puntos, A \, = \, (a_1, a_2, \ dots, a_n) y B \, = \, (b_1, b_2, \ dots, b_n) , Se define, por generalización del teorema de Pitágoras, como:

\ Sqrt {(a_1-b_1) ^ 2 + (a_2-b_2) ^ 2 + \ cdots + (a_n-b_n) ^ 2} = \ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ n (a_i-b_i) ^ 2 }.

Si las coordenadas cartesianas no se utilizan, por ejemplo, si las coordenadas polares se utilizan en dos dimensiones o, en términos más generales, si coordenadas curvilíneas se utilizan, las fórmulas que expresan la distancia euclídea son más complicados que el teorema de Pitágoras, pero se pueden derivar de ella. Un ejemplo típico en el que se convierte en la distancia en línea recta entre dos puntos de coordenadas curvilíneas se pueden encontrar en las aplicaciones de los polinomios de Legendre en la física . Las fórmulas pueden ser descubiertos usando el teorema de Pitágoras con las ecuaciones que relacionan las coordenadas curvilíneas en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, las coordenadas polares (r, θ) se puede introducir como:

x = r \ cos \ theta, \ y = r \ sin \ theta. \,

Entonces, dos puntos con localizaciones (r 1, θ 1) y (r 2, θ 2) están separados por una distancia s:

s ^ 2 = (x_1 - x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2 = (r_1 \ cos \ theta_1-r_2 \ cos \ theta_2) ^ 2 + (r_1 \ sin \ theta_1-r_2 \ sin \ theta_2) ^ 2. \,

Realización de las plazas y las condiciones de combinación, la fórmula de Pitágoras para la distancia en coordenadas cartesianas produce la separación en coordenadas polares como:

\ Begin {align} s ^ 2 = y ^ 2 + r_1 r_2 ^ 2 -2 r_1 r_2 \ left (\ cos \ theta_1 \ cos \ theta_2 + \ sin \ theta_1 \ sin \ theta_2 \ right) \ \ & = ^ r_1 2 + r_2 ^ 2 -2 r_1 r_2 \ cos \ left (\ theta_1 - \ theta_2 \ right) \ \ & = r_1 ^ 2 + ^ 2 -2 r_2 r_1 r_2 \ cos \ Delta \ theta \ end {align} \,

utilizando los trigonométricas de producto a suma fórmulas . Esta fórmula es la ley de los cosenos , a veces llamado el Teorema de Pitágoras generalizado. [34] A partir de este resultado, para el caso en que los radios de las dos ubicaciones están en ángulo recto, el ángulo encerrado Δ θ = π / 2, y la forma correspondiente al teorema de Pitágoras se recupera: s ^ 2 = ^ 2 + r_1 r_2 ^ 2. \, El teorema de Pitágoras, válida para triángulos rectángulos, por lo tanto es un caso especial de la ley más general de los cosenos, válida para los triángulos arbitrarios.

Pitágoras identidad trigonométrica

Similares triángulos rectángulos muestran seno y el coseno del ángulo θ

En un triángulo rectángulo con lados c a b, y la hipotenusa, trigonometría determina el seno y el coseno del ángulo θ entre un lado y la hipotenusa como:

\ Sin \ theta = \ frac {b} {c}, \ quad \ cos \ theta = \ frac {a} {c}.

Desde que sigue:

{\ Cos ^ 2} \ theta + {\ sin ^ 2} \ theta = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1,

donde el último paso se aplica el teorema de Pitágoras. Esta relación entre el seno y el coseno a veces se llama la identidad trigonométrica fundamental de Pitágoras. [35] En los triángulos semejantes, las proporciones de los lados son iguales, independientemente del tamaño de los triángulos, y dependen de los ángulos. Por consiguiente, en la figura, el triángulo con hipotenusa de tamaño de la unidad tiene lado opuesto del lado tamaño pecado θ y adyacente de cos θ tamaño en unidades de la hipotenusa.

Relación con el producto vectorial

El área de un paralelogramo como un producto cruzado; vectores A y B identificar un plano y un b × es normal a este plano.

El teorema de Pitágoras relaciona el producto cruzado y producto escalar de una manera similar: [36]

\ | \ Vec {a} \ times \ vec {b} \ | ^ 2 + (\ vec {a} \ cdot \ vec {b}) ^ 2 = \ | \ vec {a} \ | ^ 2 \ | \ mathbf {b} \ | ^ 2 \,

Esto se puede ver a partir de las definiciones de la cruz producto y producto de punto, como

\ Begin {align} \ vec {a} \ times \ vec {b} y = ab \ vec {n} \ sin {\ theta} \ \ \ vec {a} \ cdot \ vec {b} y = ab \ cos {\ theta} \ end {align}

con n un vector unitario normal a ambos a y b. La relación se desprende de estas definiciones y la identidad trigonométrica pitagórica.

Esto también puede ser utilizado para definir el producto cruzado. Reordenando la ecuación se obtiene la siguiente

\ | \ Vec {a} \ times \ vec {b} \ | ^ 2 = \ | \ vec {a} \ | ^ 2 \ | \ mathbf {b} \ | ^ 2 - (\ vec {a} \ cdot \ mathbf {b}) ^ 2 \,

Esto puede ser considerado como una condición sobre el producto cruzado y así parte de su definición, por ejemplo, en siete dimensiones . [37] [38]

Las generalizaciones

Cifras similares en los tres lados

Una generalización del teorema de Pitágoras se extiende más allá de las áreas de los cuadrados de los tres lados de figuras semejantes era conocido por Hipócrates de Chios , en el siglo V aC, [39] y fue incluido por Euclides en sus Elementos : [40]

Si se erige cifras similares (ver la geometría euclidiana ) con lados correspondientes a los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las áreas de los que están en los dos lados más pequeños es igual al área de la otra en el lado más grande.

Esta extensión se supone que los lados del triángulo original son los lados correspondientes de las tres figuras congruentes (por lo que los coeficientes comunes de las partes entre las cifras similares son a: b: c. [41] Mientras que la prueba de Euclides sólo se aplica a los polígonos convexos, la teorema también se aplica a cóncavos polígonos, e incluso a las figuras similares que tienen límites curvados (pero todavía con la parte de límite de una figura es el lado del triángulo original). [41]

La idea básica detrás de esta generalización es que el área de una figura plana es proporcional al cuadrado de cualquier dimensión lineal, y en particular es proporcional al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, si las cifras similares con las zonas A, B y C se erigen en los lados con longitudes correspondientes a, b y c a continuación:

\ Frac {A} {a ^ 2} = \ frac {B} {b ^ 2} = \ frac {C} {c ^ 2} \,,
\ Rightarrow A + B = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} C + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} C \,.

Pero, por el teorema de Pitágoras, a 2 + b 2 = c 2, por lo que A + B = C.

Por el contrario, si se puede demostrar que A + B = C durante tres cifras similares sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos trabajar hacia atrás para construir una demostración del teorema. Por ejemplo, el triángulo central de partida puede ser replicado y usado como un triángulo C en su hipotenusa, y dos triángulos semejantes derecho (A y B) construidos en los otros dos lados, formados dividiendo el triángulo central por su altitud . La suma de las áreas de los dos triángulos más pequeños por lo tanto, es el de la tercera, con lo que A + B = C e invertir la lógica anterior conduce al teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2.

La generalización de triángulos semejantes,
zona verde A + B = C zona azul
Teorema de Pitágoras similares utilizando triángulos rectángulos
La generalización de pentágonos regulares

Ley de los cosenos

La separación s de dos puntos (r 1, θ 1) y (r 2, θ 2) en coordenadas polares viene dada por la ley de los cosenos . Interior ángulo Δθ = θ θ 1-2.

El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema más general que relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo, la ley de los cosenos: [42]

a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos {\ theta} = c ^ 2, \,

donde θ es el ángulo entre los lados a y b.

Cuando θ es de 90 grados, entonces cos θ = 0, y la fórmula se reduce a el teorema de Pitágoras usual.

Triángulo arbitrario

Generalización del teorema de Pitágoras por TabIt ibn Qorra . [43] Panel inferior: reflejo del triángulo ABD (arriba) para formar DBA triángulo, similar al triángulo ABC (arriba).

En cualquier ángulo seleccionado de un triángulo general de lados a, b, c, inscribir un triángulo isósceles de tal manera que los ángulos iguales en su base θ son los mismos que el ángulo seleccionado. Supongamos que el ángulo θ seleccionado está enfrente de la cara de la etiqueta c. La inscripción en el triángulo isósceles triángulo ABD forma con un ángulo θ lado opuesto y con una r lateral a lo largo de c. Un segundo triángulo está formada con ángulo θ b lado opuesto y un lado de longitud a lo largo de s c, como se muestra en la figura. TabIt ibn Qorra [44] indicó que los lados de los tres triángulos estaban relacionados como: [45] [46]

a ^ 2 + b ^ 2 = c (r + s) \.

Cuando se acerca el ángulo θ π / 2, la base del triángulo isósceles se estrecha, y longitudes de r y s se solapan cada vez menos. Cuando θ = π / 2, ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = c, y el teorema de Pitágoras el original «se recuperó.

Una prueba observa que el triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo ABD, pero en orden inverso. (Los dos triángulos comparten el ángulo en el vértice B, ambos contienen el ángulo θ, y por lo tanto también tienen el mismo ángulo tercero por el triángulo postulado .) Por lo tanto, ABC es similar a la reflexión de la ABD, el DBA triángulo en el panel inferior. Tomando la proporción de los lados opuestos y adyacentes a θ,

\ Frac {c} {a} = \ frac {a} {r} \.

Del mismo modo, para la reflexión de otro triángulo,

\ Frac {c} {b} = \ frac {b} {s} \.

Eliminación de las fracciones y la adición de estos dos relaciones:

cr + cs = a ^ 2 + b ^ 2 \,

el resultado requerido.

Triángulos generales mediante paralelogramos

La generalización de los triángulos arbitrarios,
zona verde, zona azul =
Construcción para la prueba de generalización paralelogramo

Una generalización también se aplica a los triángulos que no son triángulos rectángulos, paralelogramos utilizando en los tres lados en lugar de cuadrados. [47] (Los cuadrados son un caso especial, por supuesto.) La figura superior muestra que para un triángulo escaleno, el área de el paralelogramo en el lado más largo es la suma de las áreas de los paralelogramos sobre los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado largo se construye como se indica (las dimensiones marcadas con flechas son los mismos, y determinar los lados del paralelogramo inferior ). Esta sustitución de plazas con paralelogramos tiene una clara semejanza con el original teorema de Pitágoras, y era considerado una generalización por Pappus de Alejandría en el 4 dC [47]

La figura inferior muestra los elementos de la prueba. Enfoque en el lado izquierdo de la figura. El paralelogramo verde de la izquierda tiene la misma área que la porción izquierda, azul del paralelogramo inferior debido a que ambos tienen la misma base b y una altura h. Sin embargo, el paralelogramo verde izquierda también tiene la misma área que el paralelogramo verde izquierda de la figura superior, debido a que tienen la misma base (el lado superior izquierdo del triángulo) y la misma altura normal a dicho lado del triángulo. Repitiendo el argumento para el lado derecho de la figura, el paralelogramo inferior tiene la misma área que la suma de los dos paralelogramos verdes.

Geometría del espacio

Teorema de Pitágoras en tres dimensiones se refiere la diagonal AD a los tres lados.
Un tetraedro con exteriores y en ángulo recto esquina

En términos de la geometría sólida, el teorema de Pitágoras se puede aplicar a las tres dimensiones de la siguiente manera. Considere un sólido rectangular, como se muestra en la figura. La duración de la diagonal BD se encuentra desde el teorema de Pitágoras como:

\ Overline {BD} ^ {\, 2} = \ overline {BC} ^ {\, 2} + \ overline {CD} ^ {\, 2} \,

donde estas tres lados forman un triángulo rectángulo. Uso de BD horizontal diagonal y el borde vertical de AB, la longitud de la diagonal de AD se encuentra a continuación, por una segunda aplicación del teorema de Pitágoras como:

\ Overline {AD} ^ {\, 2} = \ overline {AB} ^ {\, 2} + \ overline {BD} ^ {\, 2} \,

o bien, hacerlo todo en un solo paso:

\ Overline {AD} ^ {\, 2} = \ overline {AB} ^ {\, 2} + \ overline {BC} ^ {\, 2} + \ overline {CD} ^ {\, 2} \.

Este resultado es la expresión de tres dimensiones para la magnitud de un vector v (la diagonal AD) en términos de sus componentes ortogonales {v} (k los tres lados perpendiculares entre sí):

\ | \ Vec {v} \ | ^ 2 = \ sum_ {k = 1} ^ 3 \ | \ vec {v} _k \ | ^ 2.

Esta formulación de un solo paso puede ser visto como una generalización del teorema de Pitágoras a dimensiones más altas. Sin embargo, este resultado es en realidad la aplicación repetida del teorema de Pitágoras el original "a una sucesión de triángulos rectángulos en una secuencia de planos ortogonales.

Una generalización importante del teorema de Pitágoras para tres dimensiones es el teorema de Gua del , así llamado por Jean Paul de Gua de Malves : si un tetraedro tiene una esquina en ángulo recto (una esquina como un cubo ), entonces el cuadrado de la superficie de la cara opuesta la esquina de ángulo recto es la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Este resultado se puede generalizar como en el "n-dimensional teorema de Pitágoras": [48]

Dejar x_1, x_2, \ ldots, x_n \, ser vectores ortogonales en ℝ n. Considere el simplex S n-dimensional con vértices 0, x_1, \ ldots, x_n \, . (Piense en el (n - simplex 1)-dimensional con vértices x_1, \ ldots, x_n \, no incluyendo el origen como el "hipotenusa" de S y el resto (n - 1). dimensiones caras de S como sus "patas"), entonces el cuadrado de la hipotenusa del volumen de S es la suma de los cuadrados de los los volúmenes de las patas n.

Esta declaración se ilustra en tres dimensiones por el tetraedro en la figura. La "hipotenusa" es la base del tetraedro en la parte posterior de la figura, y las "patas" son las tres partes que emanan del vértice en primer plano. A medida que la profundidad de la base de los aumentos de vértice, el área de las "patas" aumenta, mientras que la de la base se fija. El teorema sugiere que cuando esta profundidad se encuentra en el valor de la creación de un vértice derecho, la generalización del teorema de Pitágoras se aplica. En una redacción diferente: [49]

Dado un n-n-dimensional rectangular simplex, el cuadrado de la (n - 1)-contenido de la faceta opuesta al vértice derecho será igual a la suma de los cuadrados de los (n - 1)-contenido de las facetas restantes.

Espacios interiores de productos

Vectores implicados en la ley del paralelogramo

El teorema de Pitágoras se puede generalizar a espacios producto interno , [50] que son generalizaciones de los familiares de 2 dimensiones y 3 dimensiones espacios euclídeos . Por ejemplo, una función puede ser considerada como un vector con un número infinito de componentes en un espacio de producto interno, como en el análisis funcional . [51]

En un espacio de producto interno, el concepto de perpendicularidad se sustituye por el concepto de ortogonalidad : dos vectores v y w son ortogonales si su producto escalar \ Langle \ vec {v}, \ mathbf {w} \ rangle es cero. El producto interior es una generalización de la producto escalar de los vectores. El producto escalar se llama el producto estándar interno o el producto interior euclidiana. Sin embargo, otros productos internos son posibles. [52]

El concepto de longitud se sustituye por el concepto de la norma | | v | | de un vector v, se define como: [53]

\ LVert \ mathbf {v} \ rVert \ equiv \ sqrt {\ langle \ vec {v}, \ vec {v} \ rangle} \,.

En un espacio con producto interno, el teorema de Pitágoras establece que para cualquier v dos vectores ortogonales y tenemos w

\ Left \ | \ vec {v} + \ mathbf {w} \ right \ | ^ 2 = \ left \ | \ vec {v} \ right \ | ^ 2 + \ left \ | \ mathbf {w} \ right \ | ^ 2.

Aquí los vectores v y w son semejantes a los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa dada por el vector suma v + w. Esta forma del teorema de Pitágoras es una consecuencia de las propiedades del producto interno :

\ Left \ | \ vec {v} + \ mathbf {w} \ right \ | ^ 2 = \ langle \ vec {v + w}, \ \ mathbf {v + w} \ rangle = \ langle \ vec {v} , \ \ mathbf {v} \ rangle + \ langle \ vec {w}, \ \ mathbf {w} \ rangle + \ langle \ vec {v, \ w} \ rangle + \ langle \ vec {w, \ v} \ \ rangle = \ left \ | \ vec {v} \ right \ | ^ 2 + \ left \ | \ mathbf {w} \ right \ | ^ 2,

donde los productos internos de los términos cruzados son cero, debido a la ortogonalidad.

Una generalización más del teorema de Pitágoras en un espacio de producto interno de vectores no ortogonales es la ley del paralelogramo : [53]

2 \ | \ mathbf v \ | ^ 2 +2 \ | \ mathbf w \ | ^ 2 = \ | \ mathbf {v + w} \ | ^ 2 + \ | \ mathbf {vw} \ | ^ 2 \,

que dice que el doble de la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados de un paralelogramo es la suma de los cuadrados de las longitudes de las diagonales. Cualquier norma que satisface esta igualdad es ipso facto una norma que corresponde a un producto interno. [53]

La identidad de Pitágoras se puede extender a las sumas de más de dos vectores ortogonales. Si v 1, v 2, ..., v n son pares ortogonales los vectores en un espacio interior-producto, entonces la aplicación del teorema de Pitágoras a pares sucesivos de estos vectores (como se ha descrito para el 3-dimensiones en la sección sobre la geometría sólida ) resulta en la ecuación [54]

\ | \ Sum_ {k = 1} ^ {n} \ vec {v} _k \ | ^ 2 = \ sum_ {k = 1} ^ n \ | \ vec {v} _k \ | ^ 2.

Identidad de Parseval es una generalización, además, que considera las sumas infinitas de vectores ortogonales.

Para el producto interior

\ Langle \ vec {u}, \ vec {v} \ rangle = \ mathbf u ^ * \ mathbf B \ mathbf v \,

(B es un hermítica definida positiva matriz u * y la transpuesta conjugada de u) es el teorema de Pitágoras:

\ | \ Mathbf u \ | ^ 2 = \ | P \ mathbf u \ | ^ 2 + \ | (IP) \ mathbf u \ | ^ 2 \,

donde P es una proyección que satisface:

P ^ * \ mathbf B = \ mathbf B P \.

El mapa lineal:

\ Tilde P: = \ mathbf B ^ {- \ frac 1 2} P \ mathbf B ^ \ frac 1 2 \,

entonces es una proyección ortogonal . [ cita requerida ]

La geometría no euclidiana

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana , y de hecho, el teorema de Pitágoras dado anteriormente no se cumple en una geometría no euclidiana . [55] (El teorema de Pitágoras se ha demostrado, de hecho, para ser equivalente a la de Euclides Paralelo (Quinta) Postulado . [56] [57] ) En otras palabras, en la geometría no euclidiana, la relación entre los lados de un triángulo debe tener necesariamente una forma no Pitágoras. Por ejemplo, en geometría esférica , los tres lados del triángulo rectángulo (digamos a, b, y c) un octante de delimitación de la esfera unidad tiene una longitud igual a π / 2, y todos sus ángulos son rectos, lo cual viola el pitagórico teorema debido a 2 + b 2c 2.

Aquí dos casos de geometría no euclidiana son considerados- esférica geometría y geometría plano hiperbólico , en cada caso, como en el caso de Euclides para no triángulos, el resultado sustituyendo el teorema de Pitágoras se sigue de la ley de los cosenos apropiado.

Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo cierto en geometría hiperbólica y la geometría elíptica si la condición de que el triángulo sea derecha se sustituye con la condición de que dos de los ángulos de la suma a la tercera, por ejemplo A + B = C. Los laterales están entonces relacionadas como sigue:. La suma de las áreas de los círculos con diámetros A y B es igual al área del círculo con el diámetro c [58]

Geometría esférica

Triángulo esférico

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera de radio R (por ejemplo, si γ en la figura es un ángulo recto), con lados a, b, c, la relación entre los lados de la forma: [59]

\ Cos \ left (\ frac {c} {R} \ right) = \ cos \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ cos \ left (\ frac {b} {R} \ right).

Esta ecuación se puede derivar como un caso especial de la ley de los cosenos esférica que se aplica a todos los triángulos esféricos:

\ Cos \ left (\ frac {c} {R} \ right) = \ cos \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ cos \ left (\ frac {b} {R} \ right) + \ sin \ left (\ frac {a} {R} \ right) \ sin \ left (\ frac {b} {R} \ right) \ cos \ gamma \.

Mediante el uso de la serie de Maclaurin para la función coseno, cos x ≈ 1 - x 2/2, se puede demostrar que, como el radio R se aproxima al infinito y los argumentos de los A / R, b / R y C / R tienden a cero, la relación esférico entre los lados de un triángulo rectángulo se aproxima a la forma del teorema de Pitágoras. Sustituyendo la ecuación cuadrática aproximada para cada uno de los cosenos en la relación esférica para un triángulo rectángulo:

1 - \ left (\ frac {c} {R} \ right) ^ 2 = \ left [1 - \ left (\ frac {a} {R} \ right) ^ 2 \ right] \ left [1 - \ left (\ frac {b} {R} \ right) ^ 2 \ right] + \ \ mathrm {altas \ \ términos de orden}

Multiplicando las cantidades entre paréntesis, el teorema de Pitágoras se recupera para grandes radios R:

\ Left (\ frac {c} {R} \ right) ^ 2 = \ left (\ frac {a} {R} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {b} {R} \ right) ^ 2 + \ \ mathrm {altas \ \ términos de orden} \,

donde los términos de orden superior convertido insignificantemente pequeña como R llega a ser grande.

Geometría hiperbólica

Triángulo hiperbólico

Para un triángulo rectángulo en la geometría hiperbólica con lados a, b, c y c lado opuesto con un ángulo recto, la relación entre los lados de la forma: [60]

\ Cosh c = \ cosh a \, \ cosh b

donde cosh es el coseno hiperbólico . Esta fórmula es una forma especial de la ley de los cosenos hiperbólicos que se aplica a todos los triángulos hiperbólicos: [61]

\ Cosh c = \ cosh a \ \ cosh b - \ senh a \ \ senh b \ \ cos \ gamma \,

con γ el ángulo en el vértice opuesto a la cara c.

Mediante el uso de la serie de Maclaurin para el coseno hiperbólico, cosh x ≈ 1 + x 2/2, se puede demostrar que, como un triángulo hiperbólico se hace muy pequeña (es decir, como a, b, y c todo enfoque de cero), la hiperbólica relación de un triángulo rectángulo se aproxima a la forma del teorema de Pitágoras.

Geometría diferencial

Distancia entre puntos infinitamente separados en coordenadas cartesianas (arriba) y coordenadas polares (abajo), dado por el teorema de Pitágoras

En un nivel infinitesimal, en un espacio tridimensional, el teorema de Pitágoras describe la distancia entre dos puntos separados infinitesimalmente como:

ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2, \,

ds con el elemento de la distancia y (dx, dy, dz) de los componentes del vector de separación de los dos puntos. Este espacio se llama espacio euclidiano . Sin embargo, una generalización de esta expresión útil para las coordenadas generales (no sólo cartesiano) y espacios generales (no sólo euclidiana) toma la forma: [62]

ds ^ 2 = \ sum_ {i, j} ^ n g_ {ij} \, dx_i \, dx_j

donde g ij es llamado el tensor métrico . Puede ser una función de la posición. Tales espacios curvos incluir geometría de Riemann como un ejemplo general. Esta formulación también se aplica a un espacio euclidiano utilizando las coordenadas curvilíneas . Por ejemplo, en coordenadas polares :

ds ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2 d \ theta ^ 2 \.

Historia

Los Plimpton 322 tabletas registros de Pitágoras triples desde tiempos babilónicos. [4]

Existe un debate si el teorema de Pitágoras fue descubierto una vez o muchas veces en muchos lugares.

La historia del teorema se puede dividir en cuatro partes: el conocimiento de ternas pitagóricas , el conocimiento de la relación entre los lados de un triángulo rectángulo , el conocimiento de las relaciones entre los ángulos adyacentes, y pruebas del teorema dentro de un sistema deductivo.

Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996) conjeturó que ternas pitagóricas fueron descubiertos algebraicamente por los babilonios. [63] Escrito entre 2000 y 1786 antes de Cristo, el Imperio Medio egipcio papiro de Berlín 6619 incluye un problema cuya solución es la terna pitagórica 06:08 : 10, pero el problema no se menciona un triángulo. La Mesopotamia tableta Plimpton 322 , escrita entre 1790 y 1750 aC, durante el reinado de Hammurabi el Grande, contiene muchas entradas estrechamente relacionados con ternas pitagóricas.

En India , el Baudhayana Sutra Sulba , las fechas que se dan indistintamente como entre el siglo 8 aC y el siglo 2 aC, contiene una lista de ternas pitagóricas algebraicamente descubierto, una declaración del teorema de Pitágoras, y una geometría pitagórica prueba de la teorema para un isósceles triángulo rectángulo. El Apastamba Sutra Sulba (ca. 600 aC) contiene una prueba numérica del teorema de Pitágoras en general, utilizando un cálculo zona. Van der Waerden cree que "se basaba ciertamente en tradiciones anteriores". Boyer (1991) considera que los elementos que se encuentran en la Sulba-sũtram pueden ser de origen mesopotámico. [64]

Prueba geométrica del teorema de Pitágoras a partir de la Zhou Bi Suan Jing .

Con un contenido conocido mucho antes, pero en los textos que sobreviven datan de aproximadamente el siglo I aC, los chinos texto Zhou Bi Suan Jing (周髀算经), (El Clásico aritmética del gnomon y la trayectoria circular del cielo) da una razón para el teorema de Pitágoras para los (3, 4, 5) triángulo-que en China se conoce como "Teorema Gougu" (勾股定理). [65] [66] Durante la dinastía Han (202 aC a 220 dC), ternas pitagóricas aparecen en los nueve capítulos en el arte matemático , [67] junto con una mención de triángulos rectángulos. [68] Algunos creen que el teorema surgió por primera vez en China, , [69] en el que se conoce también como el "Teorema de Shang Gao" (商高定理), [70] el nombre del duque de Zhou astrónomo y matemático, cuyo razonamiento compuso la mayor parte de lo que fue en los Zhou Bi Suan Jing. [71]

Pitágoras , cuyas fechas se da comúnmente como 569-475 aC, utilizó métodos algebraicos para construir ternas pitagóricas, según Proclo comentario 's en Euclid . Proclo, sin embargo, escribió entre 410 y 485 AD. Según Sir Thomas L. Heath (1861-1940), sin atribución específica del teorema de Pitágoras existe en la literatura griega sobreviviente de los cinco siglos después de Pitágoras vivió. [72] Sin embargo, cuando autores como Plutarco y Cicerón atribuye el teorema a Pitágoras, lo hicieron de una manera que sugiere que la atribución era ampliamente conocido e indudable. [3] [73] "Si bien esta fórmula se atribuye a Pitágoras personalmente, [...] uno puede asumir con seguridad que pertenece a el período más antiguo de las matemáticas pitagóricas ". [32]

Alrededor del año 400 aC, según Proclo, Platón dio un método para encontrar ternas pitagóricas que el álgebra y la geometría combinada. Alrededor de 300 aC, en los Elementos de Euclides , el más antiguo conservado prueba evidente del teorema se presenta. [74]

En la cultura popular

Exponer en el teorema de Pitágoras en el museo Universum en Ciudad de México

El teorema de Pitágoras ha surgido en la cultura popular en una variedad de maneras.

  • Un verso de la Major-General canción en el Gilbert y Sullivan ópera cómica The Pirates of Penzance ", sobre teorema binomial Estoy lleno de noticias mucho o ', con muchos hechos alegres sobre el cuadrado de la hipotenusa", hace una oblicua referencia al teorema. [75]
  • El Espantapájaros en la película El Mago de Oz hace una referencia más específica al teorema. Al recibir su diploma de la Asistente , inmediatamente se expone su "conocimiento", recitando una versión mutilada e incorrecta del teorema: "La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada de la restante lado. Oh, alegría! Oh, arrebato! Tengo un cerebro! " [76]
  • En 2000, Uganda lanzó una moneda con la forma de un triángulo rectángulo isósceles. Cola de la moneda tiene una imagen de Pitágoras y la ecuación 2 + α β γ 2 = 2, acompañada de la mención "Pitágoras Milenio". [77]
  • Grecia , Japón , San Marino , Sierra Leona y Suriname han emitido sellos postales que representan Pitágoras y el teorema de Pitágoras. [78]
  • En Neal Stephenson 's ficción especulativa Anathem , el teorema de Pitágoras se conoce como "el teorema Adrakhonic '. Una demostración geométrica del teorema aparece en el lateral de una nave alienígena para demostrar la comprensión de los alienígenas de las matemáticas.

Véase también

Notas

  1. ^ un b Judith D. Sally, Paul de Sally (2007). "Capítulo 3: ternas pitagóricas" Roots a la investigación:. un desarrollo vertical de problemas matemáticos. Bookstore Sociedad Matemática Americana. p. 63. ISBN 0-8218-4403-2 . http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA63 .
  2. ^ George Johnston Allman (1889). Geometría griega desde Tales a Euclides (Reproducido con Kessinger Publishing LLC 2005 ed.). Hodges, Figgis, & Co. p. 26. ISBN 1-4326-0662-X . http://books.google.com/?id=-gYCAAAAYAAJ&pg=PA26 . "El descubrimiento de la ley de tres plazas, comúnmente llamado el" teorema de Pitágoras "se le atribuye por - entre otros - Vitruvio, Diógenes Laercio, Proclo y Plutarco ..."
  3. ^ un b ( Heath 1921 , Vol. I, p. 144)
  4. ^ un b Otto Neugebauer (1969). Las ciencias exactas en la antigüedad (Reedición de 1957 Brown University Press 2 ª ed.). Courier Dover Publications. p. 36. ISBN 0-486-22332-9 . http://books.google.com/?id=JVhTtVA2zr8C&pg=PA36 .. Para tener una visión diferente, consulte Dick Teresi (2003). descubrimientos perdidos: las antiguas raíces de la ciencia moderna . Simon and Schuster. p. 52. ISBN 0-7432-4379-X . http://books.google.com/?id=pheL_ubbXD0C&pg=PA52 ., donde se hace la especulación de que la primera columna de una tableta de 322 en la colección Plimpton soporta un conocimiento babilónico de algunos elementos de trigonometría. Esa noción es más o menos enterrado por Eleanor Robson (2002). "Palabras y Fotos: Nueva luz sobre Plimpton 322" The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 109 (2): 105-120.. doi : 10.2307/2695324 . JSTOR 2695324 . Véase también el archivo pdf . La opinión aceptada hoy en día es que los babilonios no tenían conciencia de las funciones trigonométricas. Ver Abdulrahman A. Abdulaziz (2010). "The Plimpton 322 Tablet y el método babilónico de generar ternas pitagóricas". arXiv : 1004.0025 [ math.HO ] § 2, página 7..
  5. ^ Mario Livio (2003). La proporción áurea: la historia de phi, el número más sorprendente del mundo . Random House, Inc. p. 25. ISBN 0-7679-0816-3 . http://books.google.com/?id=bUARfgWRH14C&pg=PA25 .
  6. ^ ( Loomis 1968 )
  7. ^ ( Maor 2007 , p. 39) página 39
  8. ^ un b . Stephen W. Hawking (2005) Dios creó los números enteros: los descubrimientos matemáticos que cambiaron la historia . Philadelphia: Running Press Publishers Book. p. 12. ISBN 0-7624-1922-9 . http://books.google.com/?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA12 .
  9. ^ Véase, por ejemplo Mike May SJ, teorema de Pitágoras mediante cartografía de cizalla , Saint Louis University website applet de Java
  10. ^ . Jan Gullberg (1997) Matemáticas: desde el nacimiento de los números . WW Norton & Company. p. 435. ISBN 0-393-04002-X . http://books.google.com/books?id=E09fBi9StpQC&pg=PA435 .
  11. ^ 1,47 Elementos de Euclides. Consultado el 19 de diciembre de 2006.
  12. ^ Elementos de Euclides, Libro I, Proposición 47 : La versión de la página web con applets de Java de los Elementos de Euclides por el profesor David E. Joyce, Clark University
  13. ^ La demostración de Pitágoras probablemente no era de carácter general, como la teoría de las proporciones se desarrolló sólo dos siglos después de Pitágoras; ver ( Maor 2007 , p 25). página 25
  14. ^ Alexander Bogomolny. "Teorema de Pitágoras, el número de prueba de 10" . cortar el nudo. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml º 10 . Consultado el 27 de febrero de 2010.
  15. ^ ( Loomis 1968 , la prueba geométrica 22 y figura 123, page = 113)
  16. ^ Alexander Bogomolny. "Cut-the-knot.org: Teorema de Pitágoras y sus muchas pruebas, Prueba N º 3" . cortar el nudo. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml # 3 . Consultado el 4 de noviembre de 2010.
  17. ^ Alexander Bogomolny. "Cut-the-knot.org: Teorema de Pitágoras y sus muchas pruebas, Prueba N º 4" . cortar el nudo. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml # 4 . Consultado el 4 de noviembre de 2010.
  18. ^ Publicado en una columna semanal matemáticas:. James A. Garfield (1876) The New England Journal of Education 3:. 161 como se señala en William Dunham (1997). El universo matemático: Un viaje a través de los alfabético grandes pruebas, problemas y personalidades . Wiley. p. en un calendario de las fechas de matemáticas: 01 de abril 1876 por Frederick V. Rickey
  19. ^ Prof. Animación David Lantz ' de su sitio web de pruebas de animación
  20. ^ Mike Mirando (1996). "La propuesta de Pitágoras: Una prueba por medio de cálculo" Revista Matemática (Mathematical Association of America) 69 (febrero). 45-46. doi : 10.2307/2691395 . JSTOR 2691395 .
  21. ^ Bogomolny, Alexander. "Teorema de Pitágoras" . Miscelánea Matemática Interactiva y Puzzles . Alexander Bogomolny. http://www.cut-the-knot.org/pythagoras . Consultado el 09/05/2010.
  22. ^ Bruce C. Berndt (1988). "Ramanujan-100 años (moda) o 100 años nuevos (tan de moda)?" The Mathematical Intelligencer 10 (3):. 24. doi : 10.1007/BF03026638 .
  23. ^ Judith D. Sally, Paul Sally (21/12/2007). "Teorema 2.4 (recíproco del teorema de Pitágoras)." . Citado trabajo. p. 62. ISBN 0-8218-4403-2 . http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA54 .
  24. ^ Elementos de Euclides, Libro I, Proposición 48 De la página Web de Joyce en la Universidad Clark
  25. ^ Casey, Stephen, "Lo contrario del teorema de Pitágoras", Gaceta Matemática 92, julio de 2008, 309-313.
  26. ^ Mitchell, Douglas W., "Comentarios sobre los 92,47", Gaceta Matemática 93, marzo de 2009, 156.
  27. ^ Ernest Julius Wilczynski, Herbert Slaught Ellsworth (1914). "Teorema Teorema 1 y 2" . trigonometría plana y aplicaciones. Allyn and Bacon. p. 85. http://books.google.com/?id=vxk3AAAAMAAJ&pg=PA85 .
  28. ^ "Dijkstra generalización" (PDF). http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/ewd09xx/EWD975.PDF .
  29. ^ Henry Law (1853). "Corolario de la Proposición 5 XLVII, el teorema de Pitágoras" Los elementos de Euclides:. con muchas propuestas adicionales, y las notas explicativas a los que se antepone un ensayo introductorio en la lógica. John Weale. p. 49. http://books.google.com/?id=Ssb_OnVOGLgC&pg=PA49 .
  30. ^ Shaughan Lavine (1994). Comprender el infinito . Harvard University Press. p. 13. ISBN 0-674-92096-1 . http://books.google.com/books?id=GvGqRYifGpMC&pg=PA13 .
  31. ^ ( Heath 1921 , Vol. I, pp 65); Hipaso estaba en un viaje en el tiempo, y sus compañeros lo arrojó por la borda. Véase James R. Choike (1980). "La estrella de cinco puntas y el descubrimiento de un número irracional" The College Mathematics Journal 11:. 312-316.
  32. ^ a b Una discusión cuidadosa de las contribuciones Hipaso 'se encuentra en Kurt Von Fritz (abril, 1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hipaso de Metaponto" The Annals of Mathematics, Segunda Serie (Annals of Mathematics) 46 (2):. 242-264. JSTOR 1969021 .
  33. ^ Jon Orwant, Jarkko Hietaniemi, John Macdonald (1999). "distancia euclidiana" . algoritmos de Mastering con Perl. O'Reilly Media, Inc. p. 426. ISBN 1-56592-398-7 . http://books.google.com/books?id=z9xMfXGoWd0C&pg=PA426 .
  34. ^ Wentworth, George (2009). trigonometría plana y tablas . BiblioBazaar, LLC. p. 116. ISBN 1-103-07998-0 . http://books.google.com/?id=Z-O57gUYmIgC , ejercicios, página 116
  35. ^ Lawrence S. Leff (2005). precálculo de la manera fácil (7 ª ed.). Serie Educativa de Barron. p. 296. ISBN 0-7641-2892-2 . http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA296 .
  36. ^ WS Massey (diciembre de 1983). "Productos de la Cruz de los vectores en espacios de más dimensiones euclidianas" The American Mathematical Monthly (Asociación Matemática de América) 90 (10): 697-701.. doi : 10.2307/2323537 . JSTOR 2323537 .
  37. ^ Pertti Lounesto (2001). "§ 7.4 producto vectorial de dos vectores" . Clifford álgebras y espinores (2 ª ed.). Cambridge University Press. p. 96. ISBN 0-521-00551-5 . http://books.google.com/?id=kOsybQWDK4oC&pg=PA96 .
  38. ^ Francis Begnaud Hildebrand (1992). Métodos de matemáticas aplicadas (Reimpresión de Prentice-Hall ed 1965 2do.). Courier Dover Publications. p. 24. ISBN 0-486-67002-3 . http://books.google.com/?id=17EZkWPz_eQC&pg=PA24 .
  39. ^ Heath, TL, Una historia de las matemáticas griegas, Oxford University Press, 1921, reimpreso por Dover, 1981.
  40. ^ Elementos de Euclides: Libro VI, VI Proposición 31: "En los triángulos rectángulos de la figura en el lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras similares y se describen de manera similar a los lados que comprenden el ángulo derecho."
  41. ^ un b Putz, John F. y sipka, Timothy A. "En la generalización del teorema de Pitágoras", El Colegio de Matemáticas Diario 34 (4), septiembre 2003, pp 291-295.
  42. ^ Lawrence S. Leff (01/05/2005). citado trabajo . Serie Educativa de Barron. p. 326. ISBN 0-7641-2892-2 . http://books.google.com/?id=y_7yrqrHTb4C&pg=PA326 .
  43. ^ Howard Whitley Eves (1983). "§ 4.8: ... generalización del teorema de Pitágoras" Grandes momentos en matemáticas (antes de 1650).. Mathematical Association of America. p. 41. ISBN 0-88385-310-8 . http://books.google.com/books?id=9_w5jDPTvCQC&pg=PA41 .
  44. ^ TabIt ibn Qorra (nombre completo Thabit ibn Qurra ibn Marwan Al-Sabi ʾ al-Ḥarrānī) (826-901 dC) fue un médico que viven en Bagdad, que escribió extensamente sobre los Elementos de Euclides y otros temas matemáticos.
  45. ^ Aydin Sayili (marzo 1960). "Thabit ibn Qurra la generalización del Teorema de Pitágoras" Isis 51 (1):.. 35-37 doi : 10.1086/348837 . JSTOR 227603 .
  46. ^ . Judith D. Sally, Paul Sally (21/12/2007) "El ejercicio 2,10 (ii)" . raíces a buscar: un desarrollo vertical de problemas matemáticos. p. 62. ISBN 0-8218-4403-2 . http://books.google.com/books?id=nHxBw-WlECUC&pg=PA62 .
  47. ^ a b Para los detalles de esta construcción, véase George Jennings (1997). "Figura 1.32: El teorema de Pitágoras generalizado" geometría moderna con las aplicaciones:. con 150 figuras (3 ª ed.). Springer. p. 23. ISBN 0-387-94222-X . http://books.google.com/?id=6OhcE7YQY8QC&pg=PA23 .
  48. ^ Rajendra Bhatia (1997). matriz de análisis . Springer. p. 21. ISBN 0-387-94846-5 . http://books.google.com/?id=eay3HALl620C&pg=PA21 .
  49. ^ Para una extensa discusión de esta generalización, véase, por ejemplo, Willie W. Wong 2002, A generalizada n-dimensional teorema de Pitágoras.
  50. ^ Ferdinand van der Heijden, Dick de Ridder (2004). Clasificación, estimación de parámetros y la estimación del estado . Wiley. p. 357. ISBN 0-470-09013-8 . http://books.google.com/books?id=krSB9PIKMSYC&pg=PA357 .
  51. ^ . Qun Lin, Jiafu Lin (2006) métodos de elementos finitos: precisión y mejora . Elsevier. p. 23. ISBN 7-03-016656-6 . http://books.google.com/books?id=cMvAqzMuAWgC&pg=PA23 .
  52. ^ . Howard Anton, Chris Rorres (2010) Algebra Lineal Elemental: Versión Aplicaciones (10 ª ed.). Wiley. p. 336. ISBN 0-470-43205-5 . http://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&pg=PA336 .
  53. ^ un b c Karen Saxe (2002). "Teorema 1.2" . A partir del análisis funcional. Springer. p. 7. ISBN 0-387-95224-1 . http://books.google.com/books?id=QALoZC64ea0C&pg=PA7 .
  54. ^ Douglas, Ronald G. (1998). Técnicas de Banach de álgebra en la teoría de operadores, 2 ª edición . New York, New York: Springer-Verlag New York, Inc. pp 60-1. ISBN 978-0-387-98377-6 . http://books.google.com/?id=-OdfXeNmrT0C&pg=PA60 # v = onepage & q .
  55. ^ Stephen W. Hawking (2005). citado trabajo . p. 4. ISBN 0-7624-1922-9 . http://books.google.com/books?id=3zdFSOS3f4AC&pg=PA4 .
  56. ^ Eric W. Weisstein (2003). CRC enciclopedia concisa de las matemáticas (2 ª ed.). p. 2147. ISBN 1-58488-347-2 . http://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 . "El postulado de las paralelas es equivalente a la equidistancia postulado, axioma de Playfair, axioma Proclo, el Triángulo de postular y el teorema de Pitágoras."
  57. ^ R. Alexander Pruss (2006). El principio de razón suficiente: una reevaluación . Cambridge University Press. p. 11. ISBN 0-521-85959-X . http://books.google.com/books?id=8qAxk1rXIjQC&pg=PA11 . "Podríamos incluir ... el postulado de las paralelas y derivar el teorema de Pitágoras. O podría en lugar de hacer que el teorema de Pitágoras entre los otros axiomas y deducir el postulado de las paralelas".
  58. ^ Victor Pambuccian (diciembre de 2010). "Teorema hiperbólico Maria Teresa Calapso de Pitágoras" The Mathematical Intelligencer 32 (4):. 2. doi : 10.1007/s00283-010-9169-0 .
  59. ^ Barrett O'Neill (2006). "El ejercicio 4" . geometría diferencial Primaria (2 ª ed.). Academic Press. p. 441. ISBN 0-12-088735-5 . http://books.google.com/?id=OtbNXAIve_AC&pg=PA441 .
  60. ^ Saúl Stahl (1993). "Teorema de 8,3" El semiplano de Poincaré:. puerta de entrada a la geometría moderna. Jones & Bartlett Learning. p. 122. ISBN 0-86720-298-X . http://books.google.com/?id=TABicHVMQhMC&pg=PA122 .
  61. ^ Jane Gilman (1995). "triángulos" hiperbólicas . Dos generadores subgrupos discretos de PSL (2, R). Sociedad Americana de Matemáticas Bookstore. ISBN 0-8218-0361-1 . http://books.google.com/?id=YRFz9Zj_vAAC&pg=PA74 .
  62. ^ L. Chow Tai (2000). Métodos matemáticos para físicos: una introducción concisa . Cambridge University Press. p. 52. ISBN 0-521-65544-7 . http://books.google.com/?id=MpRXPOYZzfUC&pg=PA52 .
  63. ^ ( 1983 van_der_Waerden ., p 5) Véase también Frank Swetz, TI Kao (1977). era chino Pitágoras: El examen de teoría triángulo rectángulo en la antigua China . Penn State Press. p.
  64. ^ Carl Benjamin Boyer (1968). "China y la India" . Una historia de las matemáticas. Wiley. p. "Nos encontramos con normas para la construcción de ángulos rectos por medio de ternas de cables de las longitudes de los cuales forman triages pitagóricas, tales como 3, 4, y 5, o 5, 12, y 13, o 8, 15, y 17, o 12, 35 y 37 No obstante todas estas tríadas son fácilmente deriva de la antigua regla de Babilonia;.. por lo tanto, la influencia mesopotámica en los Sulvasutras no es improbable Aspastamba sabía que el cuadrado de la diagonal de un rectángulo es igual a la suma de la cuadrados de los dos lados adyacentes, pero esta forma del teorema de Pitágoras también pudo haber sido derivado de Mesopotamia. [...] Por lo tanto conjetural son el origen y el período de los Sulvasutras que no podemos decir si o no las reglas están relacionados con principios de . levantamiento egipcio o al problema griego posterior de duplicación altar Están diversamente fechado dentro de un intervalo de casi mil años que van desde el siglo VIII aC hasta el siglo II de nuestra era ",. Véase también Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach (2010). A History of Mathematics (3 ª ed.).
  65. ^ Robert P. Crease (2008): Las ecuaciones grandes. avances en la ciencia de Pitágoras a Heisenberg. WW Norton & Co.. p. 25. ISBN 0-393-06204-X .
  66. ^ Una discusión bastante amplia de los orígenes de los diversos textos de la Bi Zhou es proporcionada por Christopher Cullen (2007). Astronomía y Matemáticas en la antigua China: El "Zhou Bi Suan Jing . Cambridge University Press. pp
  67. ^ Este trabajo es una recopilación de 246 problemas, algunos de los cuales sobrevivieron a la quema de libros del 213 aC, y fue puesto en su forma final antes de 100 AD. Fue ampliamente comentado por Liu Hui en el 263 AD. Philip D Straffin, Jr. (2004). "Liu Hui y la primera edad de oro de las matemáticas chinas" . En Marlow Anderson, Victor J. Katz, J. Robin Wilson Sherlock Holmes en Babilonia. Y otros cuentos de la historia de las matemáticas. Mathematical Association of America. . págs. 69 y ss ISBN 0-88385-546-1 . http://books.google.com/books?id=BKRE5AjRM3AC&pg=PA69 . Véase en particular el § 3: Nueve capítulos del arte matemático, pps. 71 y ss.
  68. ^ Kangshen Shen, John N. Crossley, Anthony Cheung Wah-Lun (1999). Los nueve capítulos en el arte matemático: compañero y el comentario . Oxford University Press. p. 488. ISBN 0-19-853936-3 . http://books.google.com/?id=eiTJHRGTG6YC&pg=PA488 .
  69. ^ En particular, Li Jimin, ver Centaurus, Volumen 39 . Copenhague: Munksgaard. 1997. págs 193 y
  70. ^ Chen, Cheng-Yih (1996). "§ 3.3.4 Chén Zǐ la fórmula y el método Chong-cha, la figura 40" Los primeros trabajos chino en la ciencia natural:. un nuevo examen de la física del movimiento, la acústica, la astronomía y la pensamientos científicos. Hong Kong University Press. p. 142. ISBN 962-209-385-X . http://books.google.com/?id=2Wxj0SW9hBgC&pg=PA139 .
  71. ^ Wen-Tsun Wu (2008). "El teorema Gougu" . Seleccionado obras de Wen Wu-tsun. World Scientific. p. 158. ISBN 981-279-107-8 . http://books.google.com/?id=xV4lECaKDzwC&pg=PA158 .
  72. ^ ( Euclides 1956 , p. 351) Página 351
  73. ^ Un amplio análisis de la evidencia histórica se presenta en ( Euclides 1956 , p. 351) page = 351
  74. ^ Asger Aaboe (1997). Episodios de la historia temprana de las matemáticas . Mathematical Association of America. p. 51. ISBN 0-88385-613-1 . http://books.google.com/books?id=5wGzF0wPFYgC&pg=PA51 . "... No es hasta que Euclides nos encontramos con una secuencia lógica de teoremas generales con las pruebas adecuadas".
  75. ^ Maor (2007 ), p. 47.
  76. ^ "El Espantapájaros Fórmula" . Internet Movie Data Base. http://www.imdb.com/title/tt0032138/quotes?qt0409923 . Consultado el 12/05/2010.
  77. ^ "Le saviez-vous?" . http://homepage.sefanet.ch/meylan-sa/saviez-vous1.htm .
  78. ^ Miller, Jeff (03/08/2007). "Imágenes de Matemáticos en los sellos postales" . http://jeff560.tripod.com/stamps.html . Consultado el 07/18/2010.

Referencias

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