La distancia geográfica

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La distancia geográfica es la distancia medida a lo largo de la superficie de la tierra . Las fórmulas en este artículo calcular las distancias entre los puntos que se definen por las coordenadas geográficas en términos de latitud y longitud . Esta distancia es un elemento en la solución del segundo (inverso) problema geodésico .

Contenido

[ edit ] Una abstracción

Cálculo de la distancia entre las coordenadas geográficas se basa en un cierto nivel de abstracción; no proporciona una distancia exacta, que es inalcanzable si uno intentado dar cuenta de todas las irregularidades en la superficie de la tierra. [1] abstracciones comunes para la superficie entre dos puntos geográficos son:

  • Superficie plana;
  • Superficie esférica;
  • Superficie elipsoidal.

Todas las abstracciones anteriores ignorar los cambios en la elevación. Cálculo de distancias, que representan cambios en la elevación relativa a la superficie idealizada no se discuten en este artículo.

[ editar ] Nomenclatura

Distancia, D, \, \! se calcula entre dos puntos, P_1 \, \! y P_2 \, \! . Las coordenadas geográficas de los dos puntos, (latitud, longitud) pares, son (\ Phi_1, \ lambda_1) \, \! y (\ Phi_2, \ lambda_2), \, \! respectivamente. Cuál de los dos puntos se designa como P_1 \, \! no es importante para el cálculo de la distancia.

Las coordenadas de latitud y longitud de los mapas se suelen expresar en grados . En las formas dadas de las fórmulas a continuación, uno o más valores se expresan en las unidades especificadas para obtener el resultado correcto. En donde las coordenadas geográficas se utiliza como el argumento de una función trigonométrica, los valores pueden expresarse en otras unidades angulares compatibles con el método utilizado para determinar el valor de la función trigonométrica. Muchas calculadoras electrónicas permiten el cálculo de las funciones trigonométricas en grados o radianes . El modo de la calculadora debe ser compatible con las unidades utilizadas para las coordenadas geométricas.

Las diferencias en la latitud y la longitud se etiquetan y se calcula como sigue:

\ Begin {align} \ Delta \ phi & = \ phi_2-\ phi_1; \ \ \ Delta \ lambda & = \ lambda_2-\ lambda_1. \ End {align} \, \!

No es importante si el resultado es positivo o negativo cuando se usa en las fórmulas a continuación.

"La media de latitud" se etiqueta y se calcula como sigue:

\ Phi_m = \ frac {\ phi_1 + \ phi_2} {2}. \, \!

Colatitud se etiqueta y se calcula como sigue:

Para latitudes expresados ​​en radianes:
\ Theta = \ frac {\ pi} {2} - \ phi, \, \!
Para latitudes expresados ​​en grados:
\ Theta = 90 ^ \ circ-\ phi. \, \!

A menos que se especifique lo contrario, el radio de la tierra para los cálculos que siguen es:

R \, \! = 6,371.009 3,958.761 = kilometros millas terrestres = 3,440.069 millas náuticas .

D_ \, \! = Distancia entre los dos puntos, medida a lo largo de la superficie de la tierra y en las mismas unidades que el valor utilizado para el radio de menos que se especifique lo contrario.

[ edit ] Singularidades y la discontinuidad de latitud / longitud

Longitud cuenta las singularidades de los polacos (longitud está definida) y una discontinuidad en el ± 180 ° meridiano . Asimismo, las proyecciones planas de los círculos de latitud constante son muy curvados cerca de los polos. Por lo tanto, las ecuaciones anteriores para delta latitud / longitud ( \ Delta \ phi \! , \ Delta \ lambda \! ) Y la media latitud ( \ Phi_m \! ) No puede dar la respuesta esperada para posiciones cerca de los polacos o los meridianos ± 180 °. Considere, por ejemplo, el valor de \ Delta \ lambda \! ("Desplazamiento hacia el este") cuando \ Lambda_1 \! y \ Lambda_2 \! están a ambos lados de la ± 180 ° meridiano, o el valor de \ Phi_m \! ("Latitud media") para las dos posiciones ( \ Phi_1 \! = 89 °, \ Lambda_1 \! = 45 °) y ( \ Phi_2 \! = 89 °, \ Lambda_2 \! = -135 °).

Si un cálculo basado en latitud / longitud debe ser válido para todas las posiciones de la Tierra, se debe verificar que la discontinuidad y los polacos son manejados correctamente. Otra solución es utilizar n-vector en vez de latitud / longitud, ya que esta representación no tiene discontinuidades o singularidades.

[ editar ] Piso de superficie fórmulas

Una aproximación plana para la superficie de la tierra puede ser útil en pequeñas distancias. La exactitud de los cálculos de distancia utilizando esta aproximación cada vez más inexacta como:

  • La separación entre los puntos es mayor;
  • Un punto se acerca más a un polo geográfico.

La distancia más corta entre dos puntos en el plano es una línea recta. El teorema de Pitágoras se utiliza para calcular la distancia entre puntos en un plano.

Incluso en distancias cortas, la exactitud de los cálculos de la distancia geográfica que presuponen una Tierra plana depende del método por el cual han sido las coordenadas de latitud y longitud proyectada sobre el plano. La proyección mundial de latitud y longitud en un plano es el reino de la cartografía .

Las fórmulas presentadas en esta sección proporcionan diversos grados de precisión.

[ editar ] Tierra esférica proyecta a un plano

Esta fórmula tiene en cuenta la variación en la distancia entre los meridianos con la latitud:

D = R \ sqrt {(\ Delta \ phi) ^ 2 + (\ cos (\ phi_m) \ Delta \ lambda) ^ 2} {\ color {blanco} \ frac {\ grande |.} {}} \, \ !
donde:
\ Delta \ phi \, \! y \ Delta \ lambda \, \! están en radianes;
\ Phi_m \, \! debe ser en unidades compatibles con el método utilizado para determinar \ Cos (\ phi_m). \, \!
Para convertir latitud o longitud para usar radianes
1 ^ \ circ = (\ pi/180) \, \ mathrm {radianes}.
Nota: Esta aproximación es muy rápido y produce resultados bastante precisos para pequeñas distancias [ cita requerida ]. Además, al realizar el pedido ubicaciones por la distancia, tal como en una consulta de base de datos, es mucho más rápido para ordenar por cuadrado de la distancia, eliminando la necesidad para el cálculo de la raíz cuadrada.

[ editar ] Tierra elipsoidal proyecta a un plano

La FCC establece esencialmente las siguientes fórmulas en el 47 CFR 73.208 para las distancias no superiores a 475 kilometros / millas 295: [2]

D = \ sqrt {(K_1 \ Delta \ phi) ^ 2 + (k_2 \ Delta \ lambda) ^ 2}, {\ color {blanco} \ frac {\ grande |} {}.} \, \!
donde
D \, \! = Distancia en kilómetros;
\ Delta \ phi \, \! y \ Delta \ lambda \, \! son en grados;
\ Phi_m \, \! debe ser en unidades compatibles con el método utilizado para determinar \ Cos (\ phi_m) \, \!
\ Begin {align} & = K_1 111.13209-0.56605 \ cos (2 \ phi_m) 0,00120 \ cos (4 \ phi_m); \ \ & = 111,41513 k_2 \ cos (\ phi_m) -0.09455 \ cos (3 \ phi_m) 0,00012 \ cos (5 \ phi_m). \ end {align} \, \!
Puede ser interesante observar que:
K_1 = M \ frac {\ pi} {180} \, \! = Kilómetros por grado de diferencia de latitud;
K_2 = \ cos (\ phi_m) N \ frac {\ pi} {180} \, \! = Kilómetros por grado de diferencia de longitud;
donde M \, \! y N \, \! son el eridional m y su perpendicular, o "n ormal", radios de curvatura (las expresiones de la fórmula FCC se derivan de la serie binomial forma de expansión M \, \! y N \, \! , Establece en el Clarke 1866 elipsoide de referencia ).

[ edit ] Polar coordenadas de tierra plana fórmula

donde los valores colatitud están en radianes. Para una latitud se mide en grados, la colatitud en radianes se puede calcular como sigue: \ Theta = \ frac {\ pi} {180} (90 ^ \ circ-\ phi). \, \!

[ edit ] esférica de la superficie fórmulas

Si estamos dispuestos a aceptar la posibilidad de error del 0,5%, podemos utilizar las fórmulas de trigonometría esférica en la esfera que mejor se aproxima a la superficie de la tierra.

La distancia más corta a lo largo de la superficie de una esfera entre dos puntos de la superficie es a lo largo del gran círculo, que contiene los dos puntos.

[ edit ] distancia del túnel

Un túnel entre los puntos de la Tierra está definido por una línea a través de un espacio tridimensional entre los puntos de interés. Por una Tierra esférica, esta línea es también la cuerda del círculo máximo entre los puntos. Para puntos cercanos entre sí, la distancia del túnel es sólo ligeramente menor que la distancia de círculo. [3]

La longitud círculo gran acorde puede ser calculado como sigue para la esfera unidad correspondiente:

\ Begin {align} & \ Delta {X} = \ cos (\ theta_2) \ cos (\ lambda_2) - \ cos (\ theta_1) \ cos (\ lambda_1); \ \ & \ Delta {Y} = \ cos ( \ theta_2) \ sin (\ lambda_2) - \ cos (\ theta_1) \ sin (\ lambda_1); \ \ & \ Delta {Z} = \ sin (\ theta_2) - \ sin (\ theta_1); \ \ & C_h = \ sqrt {(\ Delta {X}) ^ 2 + (\ Delta {Y}) ^ 2 + (\ Delta {Z}) ^ 2}. \ end {align} \, \!

La distancia entre los puntos de túnel en la superficie de una tierra esférica es: D = R C_h

[ edit ] Great-circle distancia

La distancia de círculo artículo da la fórmula para el cálculo de la distancia a lo largo de un gran círculo, en una esfera de aproximadamente el tamaño de la Tierra. El artículo incluye un ejemplo del cálculo.

[ edit ] elipsoidal de la superficie fórmulas

Una aproximación elipsoidal para la superficie de la tierra puede ser útil en distancias grandes. La distancia más corta a lo largo de la superficie de un elipsoide entre dos puntos de la superficie es a lo largo de la línea geodésica .

[ editar ] Método exacta

Clairaut [4] derivó una cantidad conservada por geodésicas sobre un elipsoide de revolución, relación de Clairaut . Esta Legendre habilitado [5] para transferir las geodésicas elipsoidales en una "esfera auxiliar". En este ámbito, la latitud geográfica se sustituye por la latitud reducida , el azimut de la línea geodésica se conserva, y la distancia a lo largo de la línea geodésica y la longitud geográfica están relacionadas con la longitud del arco esférico y longitud esférica por simples de un integrales dimensionales. Una derivación sucinta de estos resultados viene dada por Bessel. [6] El problema se desarrolló más ampliamente Helmert, [7] y Rapp [8] proporciona un buen resumen del método moderno.

Vincenty [9] [10] formulado un algoritmo basado la solución con la esfera auxiliar. Esto es exacto a fin tercera en el aplanamiento del elipsoide, es decir, aproximadamente 0,5 mm, sin embargo, el algoritmo no converge para los puntos que son casi anti-podal . Para más detalles, ver las fórmulas de Vincenty .

Karney [11] abordó el problema inverso geodésico utilizando el método de Newton para acelerar la convergencia. Además, se emplea una serie en la que tienen una precisión de sexto orden en el aplanamiento. Esto resulta en un algoritmo que tiene una precisión de precisión doble completa y que converge para pares arbitrarios de los puntos de la tierra. Este algoritmo se implementa en GeographicLib. [12]

[ editar ] Los métodos aproximados

Los métodos exactos descritos anteriormente son factibles cuando se lleva a cabo cálculos en un ordenador. Antes de la llegada de los ordenadores, varios autores derivan fórmulas aproximadas adecuadas para cálculos manuales.

Si limitamos la distancia a 100-150 km que pueda obtener una precisión milimétrica con las ecuaciones dadas por Bowring. [13] [14] En el pdf vinculado "e" 2 "es la excentricidad segundo al cuadrado, una constante para el esferoide elegido

e '^ 2 = \ frac {2r - 1} {(r - 1) ^ 2}

donde r es el recíproco de la aplanamiento (r = 298,257223563 para la WGS84 esferoide). \ Scriptstyle \ phi_1 y \ Scriptstyle \ phi_2 son las latitudes de los dos puntos, \ Scriptstyle \ lambda_1 y \ Scriptstyle \ lambda_2 son las longitudes; \ Scriptstyle \ Delta \ phi es la diferencia en la latitud (que en un punto deben estar en radianes). Calcular A, B, C y W en la primera página del pdf, a continuación, vaya a "problema inverso" en la segunda página.

Lambert fórmulas [15] ofrecen una precisión del orden de 10 metros de largo de miles de kilómetros. Primero convertir las latitudes \ Scriptstyle \ phi_1 , \ Scriptstyle \ phi_2 de los dos puntos a latitudes reducidas \ Scriptstyle \ psi_1 , \ Scriptstyle \ psi_2

\ Tan \ psi \, = \, \ left (\ frac {r - 1} {r} \ right) \ tan \ phi.

A continuación, calcular el ángulo central \ Sigma en radianes entre dos puntos (\ Psi_1, \; \ lambda_1) y (\ Psi_2, \; \ lambda_2) en una esfera en la forma habitual ( ley de los cosenos o fórmula Haversine ), con longitudes \ Lambda_1 \; y \ Lambda_2 \; siendo el mismo en la esfera como en el esferoide.

P = \ frac {\ psi_1 + \ psi_2} {2}

Q = \ frac {\ psi_2 - \ psi_1} {2}

X = (\ sigma - \ sin \ sigma) \ frac {\ sin ^ 2 P \ cos ^ 2 Q} {\ cos ^ 2 \ frac {\ sigma} {2}}

Y = (\ sigma + \ sin \ sigma) \ frac {\ cos ^ 2 P \ sin ^ 2 Q} {\ sin ^ 2 \ frac {\ sigma} {2}}


distancia = a \ left (\ sigma - \ frac {X + Y} {2r} \ right) donde un es el radio ecuatorial del esferoide elegido.

Por GRS 80 esferoide Lambert fórmula está desactivada

0 norte 0 oeste a 40 North 120 West, 12,6 metros
0N a 40N 0W 60 W, 6,6 metros
40N 40N 0W a 60W, 0,85 metros

[ editar ] Véase también

[ editar ] Referencias

  1. ^ http://www.cartography.org.uk/default.asp?contentID=749
  2. ^ http://edocket.access.gpo.gov/cfr_2005/octqtr/pdf/47cfr73.208.pdf
  3. ^ http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.09/h/dave2.html
  4. ^ Clairaut, AC (1735). "determinación de la géometrique perpendiculaire a la méridienne Tracée par M. Cassini" [determinación geométrica de la perpendicular al meridiano dibujado por Jacques Cassini] . Mém. de l'Acad. Roy. des Sciences de París 1733 (en francés): 406-416.  
  5. ^ Legendre, AM (1806). "Analyse des triángulos rastros sur la superficie d'un sphėroïde" . Mém. de l'Inst. Nat. de France (1 º sem.): 130-161. Consultado el 30/07/2011.  
  6. ^ Bessel, FW (2010). "El cálculo de la longitud y latitud de las mediciones geodésicas (1825)". Astron. Nachr 331 (8):. 852-861. arXiv : 0908.1824 . doi : 10.1002/asna.201011352 . Traducción al Inglés de Astron. Nachr. 4, 241-254 (1825).  
  7. ^ Helmert, FR (1964). Teorías Físicas y Matemáticas de la Geodesia Superior, Parte 1 (1880) . St. Louis: Centro de la Carta Aeronáutica e Información. Consultado el 30/07/2011. Traducción de Inglés Die Mathematischen und der Physikalischen Theorieen höheren Geodäsie, vol. 1 (Teubner, Leipzig, 1880).  
  8. ^ Rapp, RH (marzo de 1993). Geodesia Geométrica, Parte II . Ohio State University. http://hdl.handle.net/1811/24409 . Consultado el 2011-08-01.
  9. ^ Vincenty, T. (abril de 1975 a). "Las soluciones directas e inversas de geodésicas en el elipsoide con la aplicación de las ecuaciones anidadas" Revisión de encuesta.. XXIII (mal impreso como XXII) (176): 88-93. Consultado el 07/11/2009.  
  10. ^ Vincenty, T. (abril de 1976). "Correspondencia". Encuesta de Revisión. XXIII (180): 294.  
  11. ^ Karney, CFF (2013). "Algoritmos para la geodesia" . J. Geodesia 87 (1): 43-55. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z . Consultado el 14/07/2012.  
  12. ^ Karney, CFF (2012). "GeographicLib" . 1,23.  
  13. ^ Bowring, BR (1981). . "Los problemas directo e inverso de las líneas geodésicas breves sobre el elipsoide" Topografía y Cartografía 41 (2): 135-141.  
  14. ^ Bowring las fórmulas en la Wayback Machine (archivado 19 de marzo 2012)
  15. ^ Lambert, W. D (1942). "La distancia entre dos puntos muy distantes entre sí en la superficie de la tierra". J. Washington Academy of Sciences 32 (5): 125-130.  

[ editar ] Enlaces externos

  • Distance Calculator Utiliza Haversine Fórmula para calcular la distancia entre las longitudes y latitudes
  • Mathar, Richard (2007). "Geodésico línea en altitud constante por encima del elipsoide". arXiv : 0711.0642 .